2. 3. Числено интегриране на частно диференциално уравнение 2.3. Числено интегриране на частно диференциално уравнение. Приложение – Нестационарна едномерна филтрация във водоносен хоризонт. N:\ Hydroinformatics \ 2_3Частно_диференциално_уравнение.ppt

2.3. Числено интегриране на частно диференциално уравнение. 2.3. Числено интегриране на частно диференциално уравнение. Явна диференчна схема. Неявна диференчна схема. Метод на прогонката за решаване на получената система линейни уравнения с ивична тридиагонална матрица.

Разглежда се филтрация във водоносен хоризонт, лежащ върху водоупор с наклон i и имащ непосредствен контакт с водата в река (фиг. 5.4).

Уравнението, описващо едномерната нестационарна филтрация във водоносен хоризонт, породена от промените на водното ниво в реката, има вида:

За линеаризация на уравнение (5 За линеаризация на уравнение (5.28) се замества в него една средна за цялата област стойност на дълбочината HSR. Тогава (5.28) се свежда до където Уравнение (5.30) се решава по метода на крайните разлики.

Дискретизация на равнината на независимите променливи (x,t):

Явна диференчна схема Производните в (5.30) се заместват в крайни разлики:

Замества се (5. 35) в уравнение (5 Замества се (5.35) в уравнение (5.30): След преобразуване се получава следната зависимост за изчисляване стойността на функцията Hi,j+i за момент t+∆t:

С помощта на (5.36) решението може да се придвижи от ниво t на ниво t+∆t за всички вътрешни точки на изчислителната област.

Гранични условия:

Начално условие:

Условие за осигуряване на устойчивост на явната диференчна схема: Това условие налага ограничение на изчислителната стъпка по време, поради което явната схема не е удобна за пресмятане на нестационарни процеси, които се развиват бавно във времето. В такива случаи се използва неявна диференчна схема.

Числено решение по неявна диференчна схема Производните по дължина се изразяват посредством стойностите на функцията Н за момент от време t+∆t:

Заместването на (5.40) в (5.30) дава уравнение, в което участват неизвестните Hi-1,j+1, Hi,j+1, Hi+1,j+1 :

Уравнения от вида (5.41) могат да се запишат за всички вътрешни точки на изчислителната област, т. е. (N-2) на брой. Ако към тях се прибавят и двете гранични условия, получава се система от N уравнения с N неизвестни, която трябва да се решава на всяка стъпка по време, за да се придвижва решението от ниво t на ниво t+∆t. За получената система заслужава да се отбележи, че матрицата от коефициентите пред неизвестните е ивична, тридиагонална. За решаването на този тип системи линейни уравнения се прилага методът на прогонване, който е по-ефективен от останалите методи.

Методът на прогонване е разновидност на метода на изключването на Гаус, в който се отчита разредеността на тридиагоналните матрици. Същността му е в това, че първоначално по рекурентни формули се пресмятат промеждутъчните коефициенти pi и qi, последователно за увеличаващи се стойности на i - право прогонване, а след това отново по рекурентни формули в посока на намаляване на i се пресмятат неизвестните Hi - обратно прогонване. Тук i е номерът на възела за разглежданото временно ниво или, което е същото, i е номерът на реда в матрицата от коефициентите пред неизвестните.

Понеже за всяко ниво по време се решава определена система от алгебрични уравнения, за простота на записа индексът j+1 се пропуска в по-нататъшното описание на метода на прогонване. Необходимо е да се отбележи в потвърждение на ефективността на метода на прогонване, че при него броят на аритметичните операции е пропорционален на първата степен на N - броя на известните, докато при метода на Гаус броят на аритметичните операции е пропорционален на третата степен на N.

При този метод се предполага, че Hi-1 и Hi, са свързани със зависимост от вида Ако от (5.41) и (5.43) се изключи Hi-1 се получава qi pi

От (5. 44) следват рекурентните съотношения за т От (5.44) следват рекурентните съотношения за т. нар, право прогонване: Стойностите на р1 и q1 могат да се пресметнат от зададеното гранично условие в началото на изчислителната област.

Тези два коефициента позволяват от (5 Тези два коефициента позволяват от (5.43) и от зададеното гранично условие в последната изчислителна точка да се образува системата От решаването й се получава неизвестното HN-1. Посредством последователно заместване на изчислителните коефициенти от (5.47) в (5.43) могат да се пресметнат останалите неизвестни HN-2, HN-3,..., H2.

Както се вижда, обемът на изчисленията при неявна диференчна схема е значително по- голям, отколкото при явна. Независимо от това тя е за предпочитане в редица случаи. Причината е, че при нея стъпката по време не се подчинява на ограничителното условие за осигуряване на устойчивост. Доказва се, че неявните схеми са безусловно устойчиви. Що се отнася до грешката от апроксимацията на диференциалното уравнение с диференчното, тя е с порядък O(∆x2+∆t). И така за предпочитане е бавно развиващи се във времето нестационарни процеси да се пресмятат с неявна диференчна схема, при която стъпката по време не е ограничена.

програма NESFIL По тези методи е разработена програма NESFIL. Тя може да се намери в папката N:\NESFIL. Работи под DOS. Входните данни се въвеждат с помощта на входен файл . Резултатите се записват в изходен файл.

Входен файл Той е текстов (с разширение .txt) Създава се с Notepad Има следната структура:

N - БPOЙ ИЗЧИCЛИTEЛHИ TOЧKИ; NT - БPOЙ CTOЙHOCTИ HA MACИBИTE HN И TT; IP - CTЪПKA ЗA ПEЧAT; ISH - БEЛEГ ЗA ИЗПOЛЗBAHATA ДИФEPEHЧHA CXEMA; AI - HAKЛOH HA BOДOУПOPHИЯ ПЛACT; AK - KOEФИЦИEHT HA ФИЛTPAЦИЯ; AM - KOEФИЦИEHT HA ПOPИTE; DX - CTЪПKA ПO ДЪЛЖИHA; DT - CTЪПKA ПO BPEMЕ; TKR - ИЗЧИCЛИTEЛEH ПEPИOД; H00 - ПЪPBOHAЧAЛHA ДЪЛБOЧИHA B OБЛACTTA; HSR - CPEДHA ДЪЛБOЧИHA B OБЛACTTA

MACИBИ HN - EДHOMEPEH, CЪДЪPЖA ИЗMEHEHИETO HA ДЪЛБOЧИHИTE B НАЧАЛОTO HA OБЛACTTA; TT - EДHOMEPEH, CЪДЪPЖA XAPAKTEPHИ BPEMEHA ЗA HN; H0 - EДHOMEPEH, CЪДЪPЖA CTOЙHOCTИTE HA HAПOPИTE B MOMEHT T; H1 - CЪЩOTO, HO ЗA MOMEHT T + DT ; P,Q - EДHOMEPHИ MACИBИ,CЪДЪPЖAT KOEФИЦИEHTИTE HA ПPOГOHBAHETO

Резултати :

Визуализация на резултатите: