Класическата механика изучава най-простите движения в макросвета

Презентация по темата: "Класическата механика изучава най-простите движения в макросвета"— Препис на презентация:

1 Класическата механика изучава най-простите движения в макросвета
Класическата механика изучава най-простите движения в макросвета. Тя е наука за движението на телата без да разглежда природата на взаимодействие и под термина механическо движение се разбира преместването на телата в пространството (изменение на положението им) с течение на времето.

2 Дефиниция на някои основни понятия в механиката.
Механична система: съвкупност от тела, чието движение разглеждаме. В частност механичната система може да се състои и само от едно тяло. Но за да опишем движението на едно тяло, трябва да окажем как неговото положение се изменя по отношение на другите тела. Това означава, че когато разглеждаме движението на дадено тяло, винаги трябва да посочим спрямо кои тела отчитаме това разглеждане.

3 Отправна система: Система от едно тяло, или съвкупност от неподвижни едно спрямо друго тела, по отношение на които се разглежда движението и часовник за отчитане на времето се нарича отправна система

4 Механични модели – материална точка, абсолютно твърдо тяло.
Материална точка: Тяло, чиито форма и размери могат да бъдат пренебрегнати (са много по-малки) по отношение на размерите на телата, с които взаимодействат и разстоянията до тях, се нарича материална точка. Материалната точка няма форма и размери, но има маса, равна на масата на тялото и е разположена в центъра на тежестта на това тяло. За по-кратко материалната точка ще наричаме тяло. Степени на свобода: Минималния брой параметри, необходими за определяне положението на дадено тяло в пространството, се нарича степени на свобода. Примери: за материална точка, движеща се по една права - 1, в равнината - 2, в пространството - 3; за система от N материални точки, движеща се по една права – N, в равнината 2N, в пространството 3N. Механична връзка: Всяко ограничение, което отнема по някакъв начин от степените на свобода на едно тяло или система от тела, се нарича механична връзка.

5 Абсолютно твърдо тяло (АТТ) : Тяло, което не изменя формата и размерите си под действие на външни сили, се нарича абсолютно (идеално) твърдо тяло. Всяко абсолютно твърдо тяло може да се разгледа като система от материални точки, неподвижни една спрямо друга. За определяне положението на абсолютно твърдо тяло в пространството е достатъчно определянето координатите на три точки, не лежащи в една равнина. Ако първата точка има 3 степени на свобода, то втората има само 2 (едната се отнема от връзката й с първата), а третата – само 1 (две от степените й на свобода са ограничени от връзките й с другите две точки). Четвъртата, петата и т. н. не прибавят нови степени на свобода, тъй като разстоянията им до първите три частици трябва да се запазват постоянни с времето. Така едно АТТ има 6 степени на свобода (три постъпателни и три ротационни)..

6 За да бъде описано движението на едно тяло с помощта на езика на математиката, дефинираните по-горе понятия трябва да имат и математически дефиниции. За тази цел се ползва евклидова геометрия. Там се дефинира математически модел на едно тяло и това е математическата точка. ”Точката е това, което няма части.” Евклид точка: място от пространството лишено от размери (дължина, площ или обем); Отправната система става координатна система като в математиката Декартовата координатна система (наричана още правоъгълна координатна система) се дефинира като система от три взаимноперпендикулярни оси, които се пресичат в една точка, наречена начало на координатната система.

7 Декартовата координатна система се използва, за да се определят положенията на точките в пространството чрез числа. С нейна помощ геометричните фигури се описват с алгебрични уравнения, които се удовлетворяват от координатите на точките от тези фигури Една от хоризонталните оси (Ох) се нарича абсцисна ос (от лат. abscissa - "отрязък'), втората хоризонтална ос Oy - ординатна ос (от лат. ordinatus - "подреден") и вертикалната ос се нарича апликата (от лат. applicata - "приложен", "добавен") или апликатна ос. апликатна ос ординатна ос абсцисна ос

8 Горната координатна система се нарича дясна
Горната координатна система се нарича дясна. Ако палецът на дясната ръка се приеме за посоката на Ox, показалецът - за посоката на Oy, а средният пръст - за посоката на Oz, то системата Oxyz е дясна. Аналогичните пръсти на лявата ръка образуват лява координатна система. Равнините Oxy, Oxz и Oyz разделят пространството на осем октанта. дясна лява

9 Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат реални числа, но също и елементи на всяко друго множество. Пример за функция е f(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпоставя 10, което се изписва като f(5) = 10. Аргументите на функциите могат да бъдат не само числа, но и други добре определени обекти. Например, дадена функция може да съпоставя на буквата A числото 1, на буквата B числото 2 и така нататък. Съществуват много начини за описване или представяне на функциите - формули, алторитми, изчисляващи стойностите за различни аргументи, графики, които дават графично изображение на стойностите, или таблици със стойностите за конкретни аргументи, често използвани в статистиката, природните науки и техниката.

10 Да се определят стойностите на функцията
за съответните стойности на аргумента х x 1 2 3 4 5 100 f(x) = y = 2x2+1 3 9 19 33 51 2001

11 Да се определят стойностите на функцията
за съответните стойности на аргумента х и да се начертае графиката и x 1 2 3 3.5 4 4.5 f(x) = y = 2x 2 4 6 7 8 9

12 Дефиниране на положението на едно тяло в пространството и във времето
1. Едноизмерен случай Винаги се има предвид и времето като допълнителна ос Единичен вектор М2 O М1 М1(8), М2 (-8) r = 8

13 Материална точка в момента от време t1 = 2,23 s има координата x1 = 5,55 m, а в момента от време t2 = 7,79 s – x2 = 7,77 m. Каква е големината на преместването й Δx за този интервал от време? Δx = x2 – x1 = 2,22 m

14 Действия с вектори y x O

15 1. Начертайте y 1. Начертайте x O

16 1. Намерете сумата y 1. Намерете сумата x O

17 1. Двуизмерен случай S М1(3,3) М2 (11,7)

18 Теорема на Питагор за C2 = A2 + B2 = (X2 – X1)2 + (Y2 - Y1)2
Разстояние – разликата между две точки S Теорема на Питагор за C2 = A2 + B2 = (X2 – X1)2 + (Y2 - Y1)2

19 Задача М1(3,3) М2 (11,7)

20 Определяне на координатите на точка в триизмерна координатна система

21 y траектория x Последователността от позиции, заемани от едно тяло в различните моменти от време се нарича път или траектория на тялото. Нагледна представа за това дават фойерверките, трасиращите куршуми и следите от самолетните двигатели в небето Закон на движението – задава положението на една точка във всеки един момент от времето – непрекъсната функция

22 Закон за движението в триизмерен случай
1. Триизмерен случай Закон за движението в триизмерен случай

23

24 Изминат път и преместване
В зависимост от формата на траекторията движението може да бъде: праволинейно; криволинейно (в частност, кръгово). Изминат път: Дължината на траекторията, която една материална точка описва при своето движение, се нарича изминат път. Бележи се с буквата s и е функция на времето s = s(t). Изминатият път е скаларна величина.

25 s(t1) = s1 s(t2) = s1 + s2 s(t3) = s1 + s2 + s3 s2 s3 s1 О t1 t2 t3 y
x y траектория s1 s2 s3 О t1 t2 t3 s(t3) = s1 + s2 + s3

26 Преместване: Това е вектор с начало - началното и край - крайното положение на материалната точка за даден интервал от време Δt = t2 - t1 (големината му е най-късото разстояние между началното и крайното положение на материалната точка). z М2 М М1 О y x

27 z y x М2 М М1 О Радиус-вектори: праволинейно движение
криволинейно движение

28 За безкрайно малки интервали от време
Трябва да отбележим, че понятието траектория е приложимо само за класическата механика, т.е. за тела, за които във всеки момент от време можем да оределим тяхното положение и скорост. Това съсвем не е така в квантовата механика, където координатите и скоростта на една частица могат да бъдат определени само с някаква точност.

29 Законът за движението на материална точка може да бъде представен по три различни начина:
аналитично; таблично; графично. Аналитичното представяне се свежда до задаването на математическа функция, която дава възможност във всеки момент от време да бъде определено положението на тялото, т.е. до намиране вида на функцията . Таблично представяне: Графично представяне: t s t1 s1 t2 s2 t3 s3 - tn sn

30 Постъпателно движение:
Определение: Движение на идеално твърдо тяло, при което всяка права, прекарана през две произволни точки от тялото, остава винаги успоредна на себе си по време на движението, се нарича постъпателно. При постъпателното движение всички точки на идеално твърдото тяло описват съвършено еднакви траектории, имат еднакви скорости и еднакви ускорения, така че кинематиката на постъпателното движение се свежда до кинематика на коя да е негова точка (3 степени на свобода в пространството, 2 в равнината и 1 по права линия). С други думи, при постъпателно движение абсолютно твърдото тяло може да бъде разгледано като материална точка.

31

32 Линейна корост Определение: Скоростта е важна количествена характеристика на движението, която изразява бързината, с която то се извършва. Средна скорост: За определяне бързината на движение за краен интервал време се въвежда величината средна скорост: средна скорост на изминатия път: средна скорост на преместването: z Движение по окръжност – какви са средните скорости на изминат път и на преместване? x y

33 G VT x Задачи – път, преместване, закон за движение
Автомобилист и велосипедист тръгват едновременно от Габрово за Велико Търново, разстоянието между които е s = 44,0 km. Първият, след като достига до Велико Търново, веднага потегля в обратна посока. На какво разстояние от Габрово двете превозни средства ще се срещнат, ако скоростта на автомобилиста е v1 = 90,0 km/h, а на велосипедиста - v2 = 20,0 km/h. G VT x

34 z М1 М2 x о y При намаляване на времевия интервал средната скорост на изминатия път се приближава до стойността си в точка М1 Моментни скорости в точка М1 Моментни скорости в точка М1 При намаляване на времевия интервал средната скорост на преместването се приближава до стойността си в точка М1

35 z М1 x y Ако работим с безкрайно малки величини то където е единичен вектор, допирателен на траекторията в точката М1, в която определяме моментната скорост. От тук получаваме: Следователно моментната скорост се характеризира с два основни елемента: големина: посока: посоката на допирателната към траекторията в дадената точка. Имайки предвид горните формули е лесно да се съобрази, че моментната скорост на преместването и моментната скорост на пътя са еднакви по големина. Това не е вярно за средните скорости в общия случай.

36 За и движението е равномерно
Други начини за представяне на скоростта: Мерна единица за скорост: метър за секунда, метър в секунда);

37 Компонентите на скоростта на материална точка са vx = 2,70 m/s, vy = 3,60 m/s и vz = 0. Каква е големината на скоростта v на материалната точка?

38 Някои примери за изследване на механични движения
Движение на хвърлено тяло

39 Каква е графиката на тази функция?
парабола

40 Какво ще стане ако x0 , y0 и t0 са нули?
Какви са графиките на тези функции? Какво ще стане ако x0 , y0 и t0 са нули?

41 Свободно падане Каква е разликата между случаите на хвърлено тяло и свободно падане? Как се променят законите за движение (началната скорост и t0 са нули)?

42 Свободно падане Как може да се определи дълбочината на кладенец като се използва законът за движение при свободно падане? Къде е началото на координатната система при горното разглеждане? дъното на кладенеца С каква скорост удря земята човек, скочил от дърво с височина Н?

43

44 Изследва се снаряд, изстрелян хоризонтално с различни начални скорости V01 V02 V03. Как се съотнасят времената за достигане на снаряда до земята в трите случая? t1 = t2 = t3

45 Ако хоризонтално изстреляното топче има хоризонтална компонента на преместването пo-голяма от L, то топчетата винаги ще се сблъскват, независимо от началната скорост (на различни височини) H L Вертикалната компонента на скоростта не зависи от хоризонталната компонента (топчетата падат с еднаква скорост, независимо от началната хоризонтална скорост)

46

47 Плавателна река има широчина s = 800 m и скорост на течението v1 = 5,00 km/h. Моторна лодка има скорост v2 = 23,0 km/h, перпендикулярна на реката. Какво разстояние s1 изминава лодката, за да я прекоси? Плавателна река има широчина s = 800 m и скорост на течението v1 = 5,00 km/h. Моторна лодка има скорост v2 = 23,0 km/h, перпендикулярна на реката. Какво разстояние s1 изминава лодката, за да я прекоси?

48 Два влака се движат един срещу друг по успоредни коловози със скорости v1 = 57,6 km/h и v2 = 86,4 km/h. Те се разминават за време Δt = 10,5 s. Съотношението на дължините на влаковете е ℓ1 : ℓ2 = 3:4. Определете ги.

49 Материална точка се движи по закона
x = 1,25t + 0,25. Определете координатата й в момента от време t1 = 5,00 s след началото на движението. x = 2,50 + 1,50t. Представете зависимостта графично. Какво е движението на материална точка, зададено със закона x = 3,35 + 1,20t + 0,65t2.

50 Обратно към моментна скорост
z М1 М2 Обратно към моментна скорост x о y При намаляване на времевия интервал средната скорост на изминатия път се приближава до стойността си в точка М1 Моментни скорости в точка М1 Моментни скорости в точка М1 При намаляване на времевия интервал средната скорост на преместването се приближава до стойността си в точка М1

51 ПРОИЗВОДНА (МАТЕМАТИЧЕСКО ОТКЛОНЕНИЕ)
Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг. Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0.

52 z М1 М2 x о y При намаляване на времевия интервал средната скорост на изминатия път се приближава до стойността си в точка М1 Моментни скорости в точка М1 Моментни скорости в точка М1 При намаляване на времевия интервал средната скорост на преместването се приближава до стойността си в точка М1

53 За и движението е равномерно
За и движението е равномерно Други начини за представяне на скоростта: , Мерна единица за скорост: метър за секунда, метър в секунда);

54 За да се опише промяната на скоростта се въвежда нова величина - ускорението
v v2 Cv v1 о t1 t2 Ct t Ускорението е вектор

55 Видове движение според посоката на ускорението: Ускорително движение:
Закъснително движение: Равнопроменливо движение: Равномерно движение: Мерна единица за ускорение: (метър за секунда на квадрат)

56 Някои стойности на измерено ускорение
Има ли ситуация при която човек няма да усети ускорението? Свободно падане при липса на въздух или вътре в космически кораб около Земята. Някои стойности на измерено ускорение Ускорение на слънцето при движението му в ‘Млечния път’ 0.2 nm/s2 Ускорение на електрона при протичане на променлив електрически ток 50mm/s2 Гравитационно ускорение на Луната 1.3 m/s2 Гравитационно ускорение на Земята 9.8 m/s2 Ускорение при старт на космически кораб 20 до 90 m/s2 Ускорение при отваряне на въздушна възглавница 360 m/s2 Ускорение на куршума в пушката 5 Мm/s2 Ускорение на протона в ядрото 1031 m/s2

57

58

59

60

61 Задача 2 y = 3a ; a = const. Отговор: 0. Задача 3 y = 5x – 4
Отговор: Задача 3  y = 5x – 4 Отговор: Задача 4  y = (√2x - 3)/6 Oтг.: √2/6. Задача 5  y = 8 -2x/5 Отговор: /5.

62 Задача y = 0,5x2 Отговор: x Задача y = 3x2 + √7x + 1 Отговор: 6x + √7. Задача y = 1 - x2 + x - 3x4 Отговор: x x3. Задача y = -x3 + 4x2 – 5 Отговор: x2 + 8x.

63 Намерете законите на скоростта и ускорението на тяло, което се движи по следния закон за движение

64 Какво е ускорението на тяло, което се движи по следния закон за движение?
А) а = 0 Б) а= const В) а ≠ const = ???

65 Какво е ускорението на тяло, което се движи по следния закон за движение?
А) а = 0 Б) а= const В) а ≠ const = ??? a = 0

66 z М1 aτ an x y Ако работим с безкрайно малки величини то където е единичен вектор, допирателен на траекторията в точката М1, в която определяме моментната скорост. От тук получаваме: Следователно моментната скорост се характеризира с два основни елемента: големина: посока: посоката на допирателната към траекторията в дадената точка. Имайки предвид горните формули е лесно да се съобрази, че моментната скорост на преместването и моментната скорост на пътя са еднакви по големина. Това не е вярно за средните скорости в общия случай.

67 За да определим компонентите и на ускорението, ще отчетем, че скоростта е насочена по посока на единичния вектор , т.е , където е големината на скоростта. По определение По време на движението единичният вектор непрекъснато променя посоката си – допирателните към различните точки от криволинейна траектория имат различни направления. Затова производната е различна от нула. За да я определим, ще използваме чертежа на фигурата. За време МТ изминава път Тъй като участъкът от траекторията има много малка дължина, той може да се разглежда като дъга от окръжност , чийто център ще означим с О. Радиусът на тази окръжност се нарича радиус на кривината на траекторията в точка М. Да означим с изменението на единичния вектор за време

68 Ъгълът между векторите и е
Ъгълът между векторите и е равен на централния ъгъл ( е в радиани), съответстващ на дъгата . От векторния триъгълник на фигурата определяме модула на вектора където е отчетено, че и (защото ъгълът е много малък). От фиг. б се вижда, че векторът е успореден на нормалата към траекторията, построена през точка М: Следователно Заместваме и получаваме

69 Тангенциалното ускорение
се определя от първата производна на големината на скоростта v по времето t, т.е. то характеризира бързината, с която се изменя големината на скоростта. Когато скоростта нараства, тангенциалното ускорение е насочено по посока на единичния вектор , т.е. по посока на скоростта. Ако скоростта намалява, векторите и имат противоположни посоки – тангенциалното ускорение е насочено обратно на вектора на скоростта. Нормалното ускорение винаги е насочено по посока на единичния вектор, т.е. по нормалата към вдлъбнатата страна на траекторията. Нормалното ускорение не променя големината, а само посоката на скоростта – показва бързината, с която се променя посоката на скоростта.

70 Равномерно движение по окръжност
Ускорение. Както за всяко криволинейно движение, при движение по окръжност ускорението на МТ може да се представи като сума от тангенциално и нормално ускорение. Нормалното ускорение е насочено към центъра на окръжността и се нарича центростремително ускорение. При равномерно движение по окръжността , и центростремителното ускорение също е константа – Следователно равномерното движение по окръжност се извършва с постоянно по големина ускорение, което е насочено към центъра на окръжността ( тангенциалното ускорение е нула) Периодично движение. Движения, които се извършват по един и същ начин, повтаряйки се през равни интервали от време, се наричат периодични движения. Най-малкият интервал от време, след който се повтарят стойностите на всички величини, характеризиращи движението, се нарича период Честотата показва колко пъти за единица време се повтаря едно периодично движение. По определение двете величини са свързани със съотношението:

71 Ъглова скорост и ъглово ускорение
Ъглова скорост и ъглово ускорение. На фигурата е показана материална точка, която се движи по окръжност с радиус . За малък интервал от време тя се премества от точка М до точка N и описва дъга с дължина Ъгълът , на който се завърта радиуса , свързващ МТ с центъра на окръжността, се нарича ъгъл на завъртане (измерва се в радиани). Големината на ъгъла на завъртане и дължината на дъгата са свързани чрез съотношението Диференцираме и двете страни на това равенство по времето и получаваме: Величината се нарича ъглова скорост на материалната точка. Ъгловата скорост е равна на ъгъла, на който се завърта МТ за единица време. Измерва се в При равномерно движение по окръжност ъгловата скорост може да се изрази чрез периода или честотата .

72 ИНТЕГРАЛ

73

74

75

76

77

78

79 Някои частни случаи на движение на МТ
Праволинейно равнопроменливо движение на МТ Движения, при които нормалното ускорение е равно на нула, се наричат праволинейни – При тях скоростта се променя по големина, но не и по посока. Големината на преместването е равна на изминатия от материалната точка път. Ще разгледаме два частни случая на праволинейно движение: 1. Движения, при които тангенциалното ускорение е нула, се наричат равномерни движения. При равномерните движения не се променя големината на скоростта – При праволинейното равномерно движение скоростта не се променя нито по големина, нито по посока. За големината на изминатия път можем да запишем:

80 2. Праволинейно движение на едно тяло, чието ускорение е постоянно, се нарича праволинейно равнопроменливо движение. Да разгледаме тяло М, което извършва праволинейно равнопроменливо движение с ускорение . Нека и са съответно радиус-вектора и скоростта на тялото в началния момент Съгласно закона за скоростта , или Равенството изразява закона за скоростта при праволинейно равнопроменливо движение. Тогава радиус-векторът на тялото в произволен момент от време е: const

81 Автомобил увеличава скоростта си от 0 с постоянно ускорение а=10 m/s2
Колко ще е скоростта му след 10 секунди? Какво разстояние изминава автомобила за това време?

82 където , , са проекциите на оста съответно на векторите
Често пъти при приложенията координатната ос се избира така, че траекторията на тялото М да лежи на нея, а посоката на оста да съвпада с посоката на скоростта му. Тогава законите за скоростта и преместването стават: където , , са проекциите на оста съответно на векторите Праволинейно равнопроменливо движение на тяло, при което скоростта и ускорението му имат постоянно една и съща посока, се нарича равноускорително движение Праволинейно равнопроменливо движение на тяло, при което скоростта и ускорението му имат постоянно противоположни посоки, се нарича равнозакъснително движение. За него

83 Закон за скоростта и преместването на хвърлено вертикално нагоре тяло
Закон за скоростта и преместването при равнозакъснително движение Движението по вертикалата на хвърлено нагоре тяло е равнозакъснително движение – имаме постоянно ускорение g, действащо срещу вектора на скоростта, докато скоростта стане нула

84

85

86 an = 0

87 Ричард потегля в 15.00 часа (t=0) и се движи със скорост км/час, като t се измерва в часове
Обяснете какво представлява величината Решение Щом t се измерва в часове, а скоростта в км/час, то този интеграл дава разстояние и се измерва в км

88 Топка е хвърлена вертикално надолу от висока сграда
Топка е хвърлена вертикално надолу от висока сграда. Скоростта на топката в м/с е v(t) = 9.8t + v0, където t е времето в секунди след хвърлянето а vo e началната скорост в м/с. Ако за 2 секунди топката изминава 25 м, то каква е била началната и скорост? Решение

89 При натискане на педала на газта, ускорението на автомобила е a(t) = 3
При натискане на педала на газта, ускорението на автомобила е a(t) = 3.0t, като времето е в секунди (ускорението не е константа). Каква ще е скоростта на колата в км/час след 2 сек ако началната скорост е била 30km/hr ? На какво разстояние ще е колата от началното положение (t = 0)?

90 Изстреляна е космическа ракета, като височината и е следната функция на времето –> h(t)=40t - 4.9t2, като времето е в сек. Колко ще е скоростта на ракетата след 10сек? Кога ускорението на ракетата ще е 10g?

91 При гимнастическо упражнение се приземявате вертикално на земята
При гимнастическо упражнение се приземявате вертикално на земята. В последния момент скоростта ви е 7.0 m/s. Докато спирате, изпитвате ускорение a(t) = 106 t 2 , където времето е в сек. Колко време ще ви е необходимо за да спрете?

92 Спортист скача в басейн от 10 м трамплин
Спортист скача в басейн от 10 м трамплин. Каква е скоростта му когато достига водата? За колко време ще спре във водата, ако в нея му действа съпротивление с ускорение a(t) = 100 t2 в m/s2 и времето е в сек.? На каква дълбочина във водата ще е спрял?

93